Porozumění korelaci

Budovatelský étos (Červenec 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Porozumění korelaci


Tento článek poskytuje náhled na praktické aspekty korelace, konkrétně na aplikace autokorelace a vzájemné korelace.

Význam korelace

Korelace obecně popisuje vzájemný vztah, který existuje mezi dvěma nebo více věcmi. Stejná definice platí i v případě signálů. To znamená, že korelace mezi signály indikuje míru, do které daný signál připomíná jiný signál.

Jinými slovy, pokud chceme vědět, kolik podobnosti existuje mezi signály 1 a 2, pak musíme zjistit souvislost signálu 1 s ohledem na signál 2 nebo naopak.

Typy korelace

V závislosti na tom, zda jsou signály zvažované pro korelaci stejné nebo odlišné, máme dva druhy korelace: autokorelaci a vzájemnou korelaci.

Autokorelace

Jedná se o typ korelace, ve které daný signál koreluje s sebou samým, obvykle s časově posunutou verzí sebe sama. Matematický výraz pro autokorelaci kontinuálního časového signálu x ( t ) je dán vztahem

$ R_ {xx} \ left (\ tau \ right) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x \ ) dt $$

kde $$ {\ star} $$ označuje komplexní konjugát.

Podobně autokorelace signálu diskrétního času x ( n ) je vyjádřena jako

$ R_ {xx} \ left (m \ right) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ $

Dále může být autokorelace libovolného daného signálu vypočítána pomocí grafické techniky. Postup zahrnuje posunutí časově posunuté verze daného signálu na sebe při výpočtu vzorků v každém intervalu. To znamená, že pokud je daný signál digitální, posuneme daný signál vždy o jeden vzorek a překryjeme ho původním signálem. Přitom při každé změně a překrývání se provádíme násobení a přidávání.

Například autokorelace digitálního signálu x ( n ) = {-1, 2, 1} lze vypočítat jak je znázorněno na obrázku 1.

Obrázek 1: Grafická metoda hledání autokorelace

Zde první sada vzorků (ty v prvním řádku každé tabulky) se vztahuje k danému signálu. Druhá sada (ve druhém řádku každé tabulky) odkazuje na vzorky své časově posunuté verze. Dále vzorky zobrazené v červené barvě ve třetím řádku jsou získány vynásobením odpovídajících vzorků prvních dvou řádků.

Nakonec přidáme vzorky v posledním řádku vzorku (obsažené v konstantních závorkách), abychom získali vzorky autoregulovaného signálu.

Zde tedy zjistíme, že vzorky autokorelačního signálu Rxx jsou {-1, 0, 6, 0, -1}, kde 6 je nulový vzorek.

Předložený příklad ukazuje, že vzorek autokorelačního signálu bude mít maximální hodnotu, pokud se překrývající signál nejlépe shoduje s daným signálem. V tomto případě se to stane, když časový posun je nulový.

Křížová korelace

Je to druh korelace, ve kterém je signál v ruce korelován s jiným signálem, aby zjistil, kolik podobnosti mezi nimi existuje. Matematický výraz pro křížovou korelaci signálů kontinuální doby x ( t ) a y ( t ) je dán vztahem

$ R_ {xy} \ vlevo (\ tau \ right) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x \ ) dt $$

Stejně tak je vzájemná korelace diskrétních časových signálů x ( n ) a y ( n ) vyjádřena jako

$ R_ {xy} \ left (m \ right) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (n \ right) $

Dále, stejně jako v případě autokorelace, může být pomocí grafických technik nalezena vzájemná korelace jakýchkoli dvou daných signálů. Zde je jeden signál přesunut na druhou při výpočtu vzorků v každém intervalu. To znamená, že v případě digitálních signálů se jeden signál posune vždy o jeden vzorek doprava, kdy se vypočítá součet produktu překrývajících se vzorků.

Například může být vypočtena vzájemná korelace digitálních signálů x (n) = {-3, 2, -1, 1} a y (n) = {-1, 0, -3, 2} 2.

Obrázek 2: Grafická metoda hledání vzájemné korelace

Zde se první sada vzorků (v prvním řádku každé tabulky) vztahuje na signál x (n) a druhá sada se týká vzorků (v druhém řádku každé tabulky) signálu y (n).

Dále vzorky znázorněné modrou barvou - ty ve třetím řádku - se získají vynásobením odpovídajících vzorků prvních dvou řádků. Nakonec přidáme vzorky v posledním řádku (obsažené v konstantních závorkách) tak, abychom získali vzorky křížově korelovaného signálu.

Zde tedy vidíme, že vzorky křížově korelovaného signálu Rxy jsou získány jako {-6, 13, -8, 8, -5, 1, -1}, kde 8 je nulový vzorek.

Dále ukázaný příklad ukazuje, že vzorek křížově korelovaného signálu je na svém nejvyšším vrcholu s hodnotou 13, kdy se poslední dvě vzorky y ( n ) překrývají s prvními dvěma vzorky x ( n ). Je to proto, že v tomto případě se druhý signál překrývá s první v nejlepším případě, protože dva vzorky v každém ze signálů jsou totožné.

Proto lze dospět k závěru, že křížová korelace dosáhne svého maxima, když se tyto dva signály stanou nejoblíbenějšími.

Analýza

Nyní, když jsme se zabývali formulací a grafickým výpočtem korelace, pokusme se analyzovat několik případů, které posilují význam korelací v praktických scénářích.

Případ 1: Určení periodicity

Předpokládejme, že jsme vyzváni k určení periodicity přijatého digitálního signálu s ( n ). Úloha může být provedena autokorelací daného signálu s ( n ) s časově posunutou verzí samotné.

Nyní předpokládejme, že získaný výsledek je znázorněn na obrázku 3, kde první hodnota maxima 23 je dosažena v čase n = 6. Při posunu podél časové osy se nalezne další nula u n = 12 a rovná se hodnotě z 23 opět (naše druhé maximum). Dále se shodná hodnota 23 nachází také v n = 18 (naše třetí maximum).

To ukazuje, že graf vykazuje hodnotu 23 v pravidelných intervalech 6 (= 12 - 6 a také = 18 - 12) vzorků. Můžeme tedy konstatovat, že daný signál má periodu n = 6 vzorků.

Obrázek 3: Typický příklad, který ukazuje použití korelace pro nalezení periodicity signálu

Vzhledem k tomuto závěru bychom mohli očekávat, že se na vrcholu objeví n = 24 (= 18 + 6). Nicméně v grafu je hodnota n = 24 20 namísto 23. Co to znamená? "" Src = "// www.allaboutcircuits.com/uploads/articles/FIgure4_Corr.jpg" />

Obrázek 4: Signál (a) odeslaný a (b) přijatý na komunikačním kanálu

Získaný výsledek je znázorněn na obr. 5, který jasně vykazuje špičku v čase t = 10. To znamená, že přijatý signál odpovídá se zkušebním signálem nejlépe, když je testovací signál posunut o 10 jednotek podél osy času.

Obrázek 5: Křížová korelace signálů zobrazených na obrázku 4

Po analýze případu časového posunu nyní učiníme ještě jeden krok kupředu. Předpokládejme tedy, že přijatý signál byl nejen posunut, ale také byl poškozen hlukem.

Obrázek 6a ukazuje stejný signál jako na obr. 4b, ale s přidaným šumem.

Obrázek 6b znázorňuje vzájemnou korelaci 6a s původním odeslaným signálem z obrázku 4a. Zde je důležité poznamenat, že i tento signál vykazuje vrchol ve stejném bodě podél časové osy: t = 10.

Obrázek 6: (a) signál ze 4b s přidaným šumem a (b) výsledek zkříženosti 6a se 4a

Obrázek 7a ukazuje mnohem horší případ, kdy je signál značně ovlivněn hlukem, až do okamžiku, kdy je obtížné vytvořit tvar signálu holými očima. Nicméně vidíte, že odpovídající korelovaný signál (obr. 7b) vykazuje vrchol téměř ve stejném bodě.

Obr. 7: (a) původní signál z obr. 4a s velkým množstvím šumu a (b) korelovaný signál

Obrázky 5, 6b a 7b ukazují, že korelace signálu zůstává téměř stejná, i když přijatý signál je vysoce poškozen hlukem.

Aplikace

Jak jsme viděli ve výše uvedených příkladech, korelace je užitečná v reálných scénářích. Ve skutečnosti existuje mnoho praktických aplikací pro korelaci. Zde je jen několik:

  1. Zpracování signálů související s lidským sluchem: lidské ucho interpretuje signály, které jsou téměř periodické signály, aby byly přesně periodické. Stejně jako v případě, kdy autokorelační signál vykazuje v pravidelných časových intervalech mírně odlišné hodnoty maxima.
  2. Zpracování hlasu: Korelace může pomoci určit tempo nebo smysl související s hudebními signály. Důvodem je skutečnost, že autokorelace může být účinně použita k identifikaci opakujících se vzorů v jakémkoliv daném signálu.
  3. Určení synchronizačních impulzů: Synchronizace pulzuje v přijatém signálu, což zase usnadňuje proces získávání dat na konci přijímače. To proto, že korelace známých synchronizačních impulzů s příchozím signálem vykazuje špičky, když jsou přijímány synchronizační impulzy. Tento bod pak může být přijímačem použit jako referenční bod, což činí systém pochopit, že část signálu, která následuje odtud (až do dosažení dalšího vrcholu v korelovaném signálu indikujícím přítomnost synchronizačního impulzu) obsahuje data.
  4. Radarové inženýrství: Korelace může pomoci určit přítomnost cíle a jeho rozsahu od radarové jednotky. Když je přítomen cíl, vysílá signál vyslaný radarem a odrazí se zpět k vysílací anténě poté, co byl vysoce oslabený a poškozen hlukem. Pokud není k dispozici žádný cíl, pak přijatý signál bude jen šum. Nyní, pokud korelujeme přijímaný signál se zaslaným signálem a pokud získáme vrchol v určitém bodě, pak můžeme usoudit, že je přítomen cíl. Kromě toho, znalostí časového zpoždění (indikovaného časovým okamžikem, kdy korelovaný signál vykazuje špičku) mezi vyslanými a přijatými signály, můžeme dokonce určit vzdálenost mezi cílem a radarem.
  5. Interpretace digitální komunikace prostřednictvím šumu: Jak je ukázáno výše, korelace může pomoci při digitální komunikaci získáním bitů, když je přijatý signál silně poškozen šumem. Zde přijímač koreluje přijatý signál se dvěma standardními signály, které označují úroveň "0" a "1". Nyní, pokud signál vysoce koreluje se standardním signálem, který označuje úroveň "1" více než s hodnotou "0", znamená to, že přijatý bit je '1' (nebo naopak).
  6. Identifikace impulsní odezvy: Jak bylo prokázáno výše, křížová korelace výstupu systému se svým vstupem vede k jeho impulsní odezvě za předpokladu, že vstup je nulový průměrný odchylka jednotky bílého Gaussova šumu.
  7. Zpracování obrazu: Korelace může pomoci eliminovat účinky různého osvětlení, které má za následek změnu jasu obrazu. Obvykle je to dosaženo vzájemným korelováním obrazu s určitou šablonou, ve které je uvažovaný obraz vyhledáván pro shodné části v porovnání s šablonou (odpovídající šablony). To se dále ukazuje jako podpora procesů, jako je rozpoznávání obličeje, lékařské zobrazování, navigace mobilních robotů apod.
  8. Lineární predikční algoritmy: V předpovědních algoritmech může korelace pomoci odhadnout příchod dalšího vzorku, aby se usnadnilo komprese signálů.
  9. Strojové učení: Korelace se používá ve větvích strojového učení, například v rozpoznávání vzorků založených na algoritmech shlukování korelací. Zde jsou datové body seskupeny do klastrů na základě jejich podobnosti, kterou lze získat jejich korelací.
  10. SONAR: Korelace může být použita v aplikacích, jako je monitorování vodního provozu. To je založeno na skutečnosti, že korelace signálů přijatých různými skořápkami bude mít různé časové zpoždění, a proto jejich vzdálenost od referenčního bodu může být snadněji nalezena.

Kromě toho je také využívána korelace pro studium vlivu šumu na signály, pro analýzu fraktálních vzorů, pro charakterizaci ultrarychlých laserových impulzů a v mnoha dalších případech.

souhrn

Diskuse uvedená v tomto článku posiluje skutečnost, že korelační operace je nevyhnutelnou součástí mnoha aplikací pro zpracování signálu.